100次浏览 发布时间：2024-12-06 10:26:09
今天我们以高中数学中的题目进行研究，有些人说大学数学解答高中数学知识点，闲的不那么严谨 并且并不是这一类题型都能解决，简单来说就是，恰好碰到了正确答案，其实步骤并不多，更多了一些巧合的成份。
今天我们就以大学学习的数学知识《拉格朗日中值定理》去研究解答高中数学恒成立的问题求参数取值范围。
说到这里，我们先来简单看一下拉格朗日中值定理的表达：
拉格朗日定理的几何意义是这样描述的：若连续曲线y=f(x)在区间[a,b]上的两个端点A(a,f(a))和B(b,f(b))之间的每一点处都有不垂直于x轴的切线，则在这两点之间至少存在一个点P(ξ,f(ξ))，使得该曲线在点P处的切线与割线AB平行。
将定理以现代形式表达出来，指的是：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，则在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)×(b－a)＝f(b)－f(a)，通过变形，还可以得到f'(ξ)＝[f(b)－f(a)]/(b－a) 。
通过变形，最后得到的是有关直线AB（割线）的斜率和曲线f(x)的切线斜率相等，并且使得相等的点是x＝ξ，即：（ξ，f(ξ)）。
但是大家要注意的是，AB这条直线，到底是怎样的一条直线，在上述过程中我也在偶尔提及，但是大家要清晰的了解到，这条直线其实是穿过曲线的一条割线。
有关这个定理的证明过程，大家可以去看我之前的文章，今天在这里就不做证明了，我们直接来看高中数学题，就以拉格朗日中值定理解决问题。
分析：对于该题目，想必大家都知道，如果用高中的知识去解决，可以采用构造函数法去求解，我们今天用两种解法去做对比，第一种以高中常规解法去做题，第二种以大学学习的拉格朗日定理去解题。
解法一：《构造函数法》
遇到这一类题，实际上要想解决恒成立问题，大部分内容是和求导找极值，进而转化为最值问题去解答，或者是借助二次函数找最值。
通过观察，我们先来做变换，设X₁＝p＋1，X₂＝q＋1，那么X₁－X₂＝(p＋1)－(q＋1)＝p－q，则
结合题目可知，因为p∈（1，2），q∈（1，2）所以X₁∈（2，3），X₂∈（2，3）
不妨设：X₁＞X₂（大家也可以假设X₁＜X₂，结果也是一样）
那么有：f(X₁)－f(X₂)＜X₁－X₂，通过整理移项可得 f(X₁)－X₁ ＜ f(X₂)－X₂，通过观察会发现，该不等式的左右两部分结构是相同的，所以可以设函数 h(x)＝f(x)－x
经过替换可得h(X₁)＜h(X₂)，因为X₁＞X₂，所以有h(x)在区间（2，3）时单调递减。
由h(x)＝f(x)－x＝aln(x＋1)－x²－x可得h'(x)＝a/(x＋1)－2x－1，其中x∈（－1，＋∞），当x∈（2，3）时，h'(x)≤0恒成立。
即：a/(x＋1)－2x－1≤0 ⟹ a≤(2x＋1)(x＋1)
此时，只需要讨论二次函数的大小即可。
令g(x)＝(2x＋1)(x＋1)＝2x²＋3x＋1，对称轴为x＝－b/2a＝－3/4＝－0.75，又因为函数g(x)开口向上，所以函数在区间[2，3]上单调递增。所以当g(x)取得最小值时，即可满足条件。
取x＝2，最小值为g(2)＝8＋6＋1＝15，所以可得a的取值范围为a≤15
解法二：《拉格朗日定理》
通过观察题目可知，我们采取同样的方法，先进行替换，然后配凑拉格朗日定理模型，可得：
到这里想必大家应该看出来了，以上不等式左边部分实际上是一个斜率形式，是过曲线两点的一条割线，即点（x₁，f(x₁)）与点（x₂，f(x₂)）。
其中过曲线上两点的割线的斜率是等于两点间某点处的切线斜率，这里要提醒大家，我们在运用拉格朗日定理时，一定要添加等号，从而满足割线斜率＝切线斜率。
最后将函数f(x)的导数求出来，代入ξ即可得到不等式恒成立关系。说到这里，大家应该都明白了，只需要整理不等式，移项转换即可求解二次函数最小值了。
令g(x)＝2ξ(ξ＋1)＋(ξ＋1)＝2ξ²＋3ξ＋1，对称轴为ξ＝－b/2a＝－3/4＝－0.75
又因为函数g(x)开口向上，所以函数在区间[2，3]上单调递增。所以当g(x)取得最小值时，即可得到a的取值范围。
取x＝2，最小值为g(2)＝8＋6＋1＝15，所以可得a的取值范围为a≤15
通过上述两种解法，大家可以看出来，如果采用第一种方法，构造函数法去解决问题，那么步骤很繁琐，需要先讨论，替换，最后才求导找二次函数。
运用第二种方法进行求解，可以直接运用拉格朗日中值定理进行求解，只需要明白拉格朗日中值定理的几何意义就可以了。
但是问题来了，我在运用该方法解决高中数学不等式恒成立问题时，有人会说该方法有时候是不成立的，就是说有巧合的成份。
针对一系列的疑问，我总结了以下几个问题，大家可以思考一下，给出自己的看法。
第一、如果函数在已知区间内是连续的，那么连续区间内的拐点是否会对解答题目有影响？如果有影响，又该怎样规避这一问题？
第二、在拉格朗日中值定理中，割线斜率的取值范围与切线斜率的取值范围到底相等嘛？如果取值不一样，那么他们的关系到底是什么呢？
