100次浏览 发布时间：2024-11-11 08:24:16
一、指数函数是怎么来的？
首先我们来看这种形式：
大家都知道上式表示的是n个m相乘这样一种运算结果。
我们通常把这种形式称为“幂”。
蹲在地上的那个m称为底数，肩膀上的那个小点的n称为指数。
到这时候为止，无论m还是n，我们都认定它们是常数，好了，我们现在开始引入变量。
假如我们把底数作为变量，也就是把m换成变量x，上面的幂就变成一个函数，因为随着自变量的变化而幂的值会发生变化。
为了和以后的型式统一，我们把指数写成常数a的形式，就形成了课本上定义过的幂函数的标准形式：
前面我们已经详细介绍过幂函数，我们把指数a这个常量的取值范围扩展到全体实数时，自变量x的取值范围，也就是函数的定义域会受到指数取值的影响。
现在我们换另一种玩法，把底数m换成常数a，把指数n换成变量x，那就形成了另一种幂:
这样，随着自变量x的变化，幂的值也会发生变化。
我们把这种底数为常量，但指数为变量的幂称为另一种函数——指数函数
指数函数的定义：
二、底数a为什么要做出限定？
很显然，为了研究的统一性，我们依旧把幂的指数部分的取值范围扩展到全体实数，因为这个原因，底数a的取值就必须做出限定：
当x取负值时，此时a就不能取0；
当x取偶次根式的分数指数幂时，a必须取正值，也就是a>0。
无论怎样，底数都不能取1，因为如果a=1，无论指数怎么变化，这个函数都是一个常量，所以，就没有研究的意义。
以上就是规定底数大于0且不等于1的原因。
好，既然是一个函数，我们就必须按照函数的研究规则研究它。
三、分数指数幂、无理数指数幂什么意思？
1、我们先来解决分数指数幂的疑问：
我们以前所熟知的指数都是整数，如果扩展到实数范围，那必须把分数指数幂和无理数指数幂也要加入到指数行列才行，但是，一个分数做为指数代表的是什么意思呢？
比如说下面这种形式，代表一种什么样的运算呢？
要想轻松地解答这个问题，我们可以采用简单类比的方法来获得答案。这种简单类比的方法显然不同于严谨的数学推理，但它的好处就在于大家可以很快地获得可能的答案，一旦掌握了事件的全局，就可以回过头来，再想办法研究细节问题，用严谨的数学推理来证明答案的正确性。这就是我们常说的“先猜后证”。
言归正传：
这就是分数指数幂的意义，也就是说分数指数幂实际代表的是开方运算。
好，剩下的一个问题就是无理数指数幂又表示了一种什么样的运算？比如下面这个无理数指数幂怎么运算呢？
无理数我们没有办法直接运算，但我们可以采用“夹逼”的办法，也就是用有理数指数幂从两端逼近，从而在两端的中间获得一个确定的运算值。
也就说对于无理数，我们完全可以在无理数的左侧和右侧，各取一个相对等距离接近无理数的两个有理数进行幂运算，这两个值的中间值就逐渐接近于它的实际值。
比如我们首先对上式中无理数的不足有理值1.4和过剩有理值1.5进行运算，然后两侧逐渐逼近，最后总可以得到一个确定的幂的运算值。
也就是说，无理数指数幂实际就是有理数指数幂逐渐夹逼形成的结果。
换句话说，分数指数幂，无理数指数幂都遵从指数的运算规则。
四：指数的运算规则：
不要小看上述运算公式哦，必须经过扎实地训练才可以驾轻就熟。
五、指数函数的性质
1、首先是定义域，自变量x的取值范围是全体实数。
2、然后是值域：因为底数是大于0且不等于1的常数，所以无论x取何值，都意味着有x个a这个正数相乘，所以结果肯定是大于0的。也就是说指数函数的值域是从0到正无穷。
要素部分研究完了，继续研究五大性质
3、单调性：为了直观起见，在研究函数的单调性时，我们一般会首先采用取特殊值的办法画出函数的图像，然后根据图像，直观的得出函数的单调性的结论。
首先说这种办法很直观，是一种把抽象事物具象化的手段。
因为a的取值分两部分：一种情况是a在0和1之间，另外一种情形是a>1。
我们把两种情形的图像都画出来：
把这几个放在一张图上：
（此处应该大赞创建解析几何的大师们，因为他们创建的解析几何方法，把在抽象道路上狂奔的数学公式硬生生地拉回到可见的图像之上，这个方法在抽象和具象之间架起了互通的桥梁，也正因为这个桥梁，我们的普罗大众才得以能够理解那些眼花缭乱的数学公式到底是什么意思。虽然他创建解析几何的原本目的是想着把具象的几何图形，用抽象的数学公式来表示）
通过图像我们看到，
对于a>1时，函数是单调递增的，从最左侧的接近于0，过（0,1）点，向右增到正无穷大。
同时，底数不同，增长速度不同。在第一象限，底数越大，增长速度越快。
对于0<a<1时，函数是单调递减的。底数不同，递减速度不同，在第二象限，底数越小，递减速度越快。
其实有了图像，上面的总结语言就显得多余，一个图看的清清楚楚，干嘛要费那么多话？
然而，必须说明的是：
这种用直观的图像，来归纳、认定函数单调性的办法本身是很粗糙、不严谨的。
因为我们画出图像上的点都是离散的点，并不连续，即使我们取得的点比上面的画图多出几倍甚至几十倍，再多的点也都只是个例的点，不具有普遍性。
不过，我们如果首先用图像这种粗糙的方法认识到了指数函数的单调性，回过头来，我们就可以用严谨的数学方法证明它。
要想判断函数的单调性，直接用定义证明就好了：
整理在一起就这个样子：
4、周期性：指数函数不是周期函数
5、对称性：指数函数函数不具有对称性。但底数互为倒数的指数函数关于y轴对称。
6、凹凸性：指数函数为凹函数。
