100次浏览 发布时间：2024-09-29 09:54:55
函数值域的求法是方法最多的，比如观察法，配方法，判别式法（分式函数，无理函数），换元法，分离常数法，反表示法（反解出x，根据x的取值范围求y的取值范围），根据不同题目，会有各种各样的求法。
不过大家记住一点，定义域对应的叫自变量，翻译过来就是自己变化的量；值域对应的叫因变量，翻译过来就是因为自变量的变化而变化的量。因此，无论何种求值域的方法，都要从定义域出发。
下面，我们介绍几种最常见的求值域的方法和对应题型。
二次函数型是指本身是个二次函数或者是个最外层是二次函数的复合函数。
这种函数求值域的步骤为：先求出二次函数对称轴，然后确定对称轴在不在给定的定义域之内，如果在，那么对称轴本身对应哪个最值，现在依就对应哪个最值，两个端点哪个距离对称轴远，哪个对应另一个最值；如果对称轴不在定义域范围内，则说明函数是单调函数，则两个端点各对应一个最值。
举例：
例1
首先求出这个函数的对称轴为x=2。
经判断，2∈[1,5]，而且该二次函数开口向上，因此对称轴处对应的是最小值。
所以该函数的最小值是当x=2时，y=2。
两个端点1和5,5距离2更远，因此该函数的最大值是当x=5时，y=11。
所以，该函数的值域为[2,11]。
三角函数型是指函数解析式为三角函数完整形式的函数。
该种函数求值域，先通过化简把函数转化为三角函数完成形式，
然后根据定义域求出sin（wx+φ）的取值范围，该取值范围乘A再+B即为整个函数的值域。
这种求值域方法，我们会在后面三角函数的图像与性质章节专门讲解。
前面我们刚刚讲过均值不等式对应的是对勾函数，那么如果让你求值域的是对勾函数或类对勾函数或以对勾函数为最外层的复合函数，就可以利用均值不等式求值域了。
特别注意的是，一定要通过图像确定值域是闭合性还是开放性。
这里要先说一下导数。
众所周知，导数是高中数学公认最难的知识点。
既然导数是最难的知识点，那么我们应当以怎样的态度去对待它呢？
四个字：敬而远之！
也就是说，但凡可以用非求导的方式解决问题，就不用导数去解决，除非用导数解决比其他方法简单、快捷很多。
那么用求导法求值域何时使用呢？
就是当其他方式都无法求出值域时使用。
如何用求导法求值域呢？
值域无非是求整体最大值和最小值或者求部分的最大值和最小值，那么无论这个函数是什么样的函数，这些值只有可能出现在两个位置上，一个就是定义域的端点处，另一个就是函数的极值点处，通俗的说就是函数拐弯的地方。
所以，用求导法求值域就是利用求导的方式把函数所有的极值点求出来，然后将所有极值点对应的极值和端点对应的y值求出来，然后集体进行比较，其中最大的就是整个函数的最大值，最小的就是整个函数的最小值。
至于求极值的方法，我们到导数章节再具体说。
分离常数型求值域是针对分式型函数的，例如：
例2
求该函数在x∈[1,6]上的值域？
以后只要看到这种分式型，也就是分子和分母上都有x的形式，无论求什么，都用分离常数法。
如何分离常数？
把分母看做一个整体，用分母这个整体去凑分子。
比如这道题，就可以转化为y=[2（2x+1）-9]/（2x+1），这就相当于一个多项式除以一个单项式，就可以分别除下来了，得到y=2-9/（2x+1），这样就只剩一边有x了。
接下来，有两种做法：
第一种，判断整体单调性，而后求值域。
因为2x+1单调递增且在x∈[1,6]上恒正，所以9/（2x+1）为单调递减，-9/（2x+1）单调递增，2-9/（2x+1）单调递增，也就是该函数是个单调递增函数，那么当x=1时取到最小值-1，当x=6时，取到最大值17/13。
第二种，由x取值范围一层层推出值域。
因为x∈[1,6]，所以2x+1∈[3,13]，1/（2x+1）∈[1/13,1/3]，9/（2x+1）∈[9/13,3]，-9/（2x+1）∈[-3，-9/13]，y=2-9/（2x+1）∈[-1,17/13]，由此得出其值域。
这种方法要特别注意求倒数这一步。
像本题中[3,13]的倒数为[1/13,1/3]，即把两个端点值分别求倒数，而后交换位置。
如果是[-3，-1]的倒数，则为[-1，-1/3]，同样是将两个端点值分别求倒数，而后交换位置。
但是，如果是[-3,2]求倒数，可不是[-1/3,1/2]，这是错误的。
正确的倒数应该为(-∞，-1/3]∪[1/2，+∞）。
因为这个数集跨越了0，因此应当拆为[-3,0）∪(0,2]再去求倒数。
其中0的倒数为∞，所以有了上面的正确答案。
0与∞又是数学上的一对CP，很好磕的CP。
我们再次强调图像对于高中数学的重要性。
如果可以画出一个函数的图像，那么其值域就一目了然，就是y方向，也就是纵向可以取到哪些值。
上面我们介绍的求值域方法占了所有考试类型的90%以上，其他的求值域方法我们就不一一讲解了，大家到题目中自己思考。
